Kategorie: Mathematik

Ich bin ein Fragmentarier

„Dieser Mann wird nichts zustande bringen, weil er zuerst an das Ende der Arbeiten denkt, bevor er sie überhaupt begonnen hat.“

Das könnte auch über mich gesagt worden sein. Jedoch sagte dieses Papst Leo X. über Leonardo da Vinci.

Im Vergleich zu Leonardo bin ich nur leider kein Genie. Nur vermutlich ebenso sorgfältig, pedantisch und perfektionistisch. Und so vielseitig interessiert:

Auch von Leonardo selbst wissen wir, dass er in seiner Vielseitigkeit manchmal ein Problem sah. „Ganz wie ein Königreich in sein Verderben läuft, wenn es sich teilt“, schrieb er, „so verwirrt und schwächt sich der Geist, der sich mit zu vielen Themen beschäftigt.“ Doch solche gelegentlichen Bedenken stellte er mit gutem Grund wieder zurück. „Durch verworrene und unbestimmte Dinge“, hatte er erkannt, „wird nämlich der Geist zu neuen Erfindungen wach.“ Angesichts von Leonardos umfassenden Interessen und Forschungen hat Karl Jaspers ihn in positivem Sinn einen „Fragmentarier“ genannt.

Leonardo da Vinci, der immer mehr vom Künstler zum Wissenschaftler wurde, hatte verstanden, dass Versuch und Irrtum den Weg markieren, der das Ziel ist.

Ich bezweifele allerdings, daß es ihm gefallen würde, daß sich die Menschen nach seinem Tode vor allem an die Mona Lisa erinnnern, jedoch kaum an seine Leistung als Wissenschaftler.

Sonderlinge wie ihn muß ich aber einfach mögen. Zumal mir dieser Italiener auch noch etwas wesensverwandt zu sein schien. Leonardo da Vinci steht für mich in einer Reihe mit exzentrischen Persönlichkeiten wie Oscar Wilde und Alan Turing.

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Geschlechtsspezifische Schulbücher?

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Was habt Ihr Euch im Verlag denn bloß dabei gedacht? Da werden einfach ganz viele altbekannte Klischees verbreitet, mit der Begründung, damit würden die Kinder besser lernen, wenn sie Vertrautes vorgesetzt bekommen.

Zumindest sollte jedes Kind unabhängig vom Geschlecht die Ausgabe wählen können, mit der es besser lernen kann. Natürlich gibt es Unterschiede im Denken und auch im Lernen bei den Geschlechtern. Und die werden zum Teil bereits vor der Geburt ausgeprägt. Aber wer jemals eine Gauß’sche Verteilungskurve gesehen hat, der sollte wissen, daß sich diese bei den Geschlechtern zwar im Durchschnitt leicht unterscheiden, aber doch zum größten Teil überlappen.

Wenn man schon in ein und derselben Schulklasse verschiedene Lehrbücher verwenden möchte, dann wäre vielmehr eine individuelle Förderung mittels unterschiedlicher Schulbücher angebracht. Zum Beispiel könnte es für die verschiedenen Lerntypen verschiedene Schulbücher geben. Diese werden aber nicht einfach nach Merkmalen wie dem Geschlecht zugeordnet. Stattdessen sollte in letzter Instanz das Kind selbst entscheiden, welches Schulbuch es verwenden möchte.

Viel sinnvoller für eine angemessene Förderung jedes einzelnen Kindes wäre aber eine höhere Anzahl an Lehrkräften pro Klasse bzw. pro Kind. Und dem akuten Lehrermangel könnte man dadurch begegnen, daß zwar in jeder Klasse ein ausgebildeter Pädagoge seinen Dienst verrichtet, dieser jedoch je nach Unterrichtsstoff Unterstützung durch diverse Fachkräfte erhält, welche durch pädagogische Fortbildungsmaßnahmen auf ihre neuen Aufgaben vorbereitet werden.

Letzteres wird zwar in einigen Bundesländern schon versucht, doch sind die Zugangsvoraussetzungen bislang zu hoch, um damit den Lehrermangel ausgleichen zu können. So wird einerseits ein abgeschlossenes Studium erwartet, andererseits soll eine gewisse Altergrenze (40 bzw. 45 Jahre) nicht überschritten werden. Wer aber diese Voraussetzungen erfüllt, hat vermutlich besseres zu tun, als einem schlechtbezahlten Aushilfsjob an einer Schule nachzugehen.

Stampft also Eure klischeeüberladenen Schulbücher wieder ein, und überlegt lieber, wie Ihr mithelfen könnt, mehr Lehrkräfte an die Schulen zu bekommen.

Der Rhythmus, bei dem jeder mitmuß

Nein, diesmal geht es nicht um Musik, auch wenn der Titel dieses nahelegt. Vielmehr möchte ich ein paar Gedanken zum „Lebensrhythmus“ aufschreiben, der durch gewisse „Rituale“ eingerahmt und geprägt wird.

Fangen wir mit den natürlichen Rhythmen an, derer es genau drei gibt. Der Tag-Nacht-Rhythmus ist uns durch die Drehung der Erde um die eigene Achse vorgegeben. Und wir haben uns biologisch mit unserem Schlaf-Wach-Rhythmus darauf eingestellt. Der Jahresrhythmus mit dem Wechsel der Jahreszeiten ist wiederum durch die Bewegung der Erde um die Sonne vorgegeben. Biologisch reagieren wir eher indirekt darauf. So kann die verminderte Sonnenintensität im Winter zur Zunahme von Depressionen führen. Außerdem haben wir jede Menge Rituale in den Jahresrhythmus eingebaut: Geburtstage, Feiertage, Gedenktage.

Beim dritten Rhythmus ist nicht klar, ob der astronomische und der biologische Rhythmus überhaupt zusammenhängen. Es fällt jedoch auf, daß sowohl die Umrundung der Erde durch den Mond als auch der Menstruationszyklus jeweils 28 Tage dauern. Auch dieser Rhythmus erforderte eine gewisse Anpassung, auch durch die Männer.

Aber der Titel bezieht sich auf einen Rhythmus, den ich nicht als natürlich bezeichne. Obwohl sehr viele Menschen, gerade in unserem Kulturkreis ganz offensichtlich danach leben, bzw. leben müssen. Gemeint ist der Wochenrhythmus, auch mit dem Wechsel zwischen Arbeitswoche und Wochenende.

Es gibt zwei Herleitungen für diesen Rhythmus. Die eine ist astronomisch, jedoch willkürlich, während die andere einfach „gottgegeben“ ist. Die astronomische Erklärung geht davon aus, daß der Mondzyklus von 28 Tagen (s.o.) in vier gleiche Abschnitte unterteilt wurde, die den vier Mondphasen entsprechen. Allerdings hätte man die 28 Tage ebenso gut in sieben Abschnitte von jeweils vier Tagen einteilen können. Oder sogar zwei mal vierzehn. Oder umgekehrt.

Die Erklärung aus der Religion heraus ergibt sich natürlich aus dem Schöpfungsbericht: Da Gott die Schöpfung erst nach sechs Tagen vollendete, haben wir bis heute nur alle sieben Tage ein Wochenende. Hätte er sich doch damals ein bißchen beeilt…

Diese Einteilung des Kalenders in Wochen ist daher auch nur für den Kulturkreis der abrahamitischen Religionen belegt: Christentum, Judentum und Islam. Die Azteken hatten eine Woche von fünf Tagen, wobei sie ab und zu mal eine Woche von dreizehn Tagen einschieben mußten, damit der Kalender nicht aus dem Tritt geriet.

In weiten Teilen Asiens, wo Milliarden Menschen hinduistische oder buddhistische Traditionen haben, ist die Einteilung der Zeit in Arbeitstage und arbeitsfreie Tage in einem festen Rhythmus gänzlich unbekannt. Arbeitsfreie Tage gab es sicherlich schon immer zu bestimmten (jährlichen oder vom Mond abhängigen) Festtagen, jedoch ein fester Rhythmus zwischen Arbeit und Freizeit besteht nicht. Im Zuge der Globalisierung wird jedoch nachgeholt, was die christliche Missionierung nicht überall schaffte: Um am weltweiten Wirtschaftsleben teilnehemen zu können, müssen sich auch solche Länder dem Wochenrhythmus beugen, die eine solche Unterteilung traditionell nicht kannten.

Und auch wenn ein Großteil der hiesigen Bevölkerung nicht mehr an Jahwe glaubt, bleibt eine Kalenderreform Utopie. Nach der französischen Revolution wurde eine Zehntagewoche eingeführt, die dreizehn Jahre später von Napoleon wieder abgeschafft wurde. Auch wir sind es schon immer gewohnt, zwei Tage in der Woche für uns zu haben, und beugen uns ansonsten dem wöchentlichen Rhythmus von Müllabfuhr, Teambesprechungen, Fitnesstraining, Volkshochschulkursen, Fernsehprogrammen, Ernährung (freitags Fisch und sonntags Braten), Bundesliga, Fahrplänen, Öffnungszeiten, Vereinsleben, etc.

Wir können wohl gar nicht mehr anders. Und wollen es vielleicht auch gar nicht. Mag sein, daß ich der Einzige bin, dessen Biologie sich nicht auf den Wochenrhythmus einstellen mag, und immer wieder versucht, daraus auszubrechen. Aber die Welt da draußen richtet sich nunmal nicht nach den Rhythmen und den Abweichungen Einzelner. Also weiter im tristen Programmablauf des Lebens. Was ist nächste Woche angesagt?…

Und täglich grüßt die Fakultät…

Nein, nicht der Lehrbereich einer Hochschule ist gemeint, sondern die allseits bekannte und beliebte Funktion aus der Mathematik. Die Fakultät muß nämlich in nahezu jedem Programmierkurs als Beispiel herhalten, wenn es um die Programmierung von Funktionen geht. Weil man die sowohl iterativ als auch rekursiv programmieren kann. Das sagt Dir nichts? Das wundert mich nicht.

Die Autoren und Dozenten solcher Kurse gehen wohl davon aus, daß das Prinzip ganz einfach zu verstehen ist: Für die Fakultät n! einer Zahl n multipliziert man einfach alle natürlichen Zahlen von 1 bis n: n! = 1*2*…*(n-1)*n. Das versteht jedes Kind. Aber frag doch mal in Deinem nächsten Programmierkurs den Dozenten, wozu man eigentlich solch eine Funktion benötigt.

Und geh mal in unserem Land, in dem Erwachsene damit kokettieren, daß sie in der Schule auch nicht gut in Mathematik waren, in eine Fußgängerzone, und frag die Menschen, was ihnen zu „Fakultät“ so alles einfällt. Und wenn sie Dir etwas von „Hochschule“ erzählen, frag sie, ob das alles war. Aber in den meisten Fällen wird das alles gewesen sein.

Außerhalb der Mathematik bzw. deren Fachgebiet Kombinatorik braucht man so gut wie nie eine Fakultät zu berechnen. Selbst wenn man weiß, wie es geht: Wozu sollte man es tun? Das einfachste und anschaulichste Beispiel dürfte noch die Frage sein, wieviele Möglichkeiten es gibt, z.B. zehn Bücher nebeneinander im Regal anzuordnen. Aber mindestens 98% der Bevölkerung finden es unwichtig und überflüssig zu wissen, daß es dafür 3.628.800 Möglichkeiten gibt. Vielleicht finden sie es sogar überflüssig, zehn Bücher zu besitzen…

Interessanter fände ich es dagegen, mit Hilfe der Fakultät Wahrscheinlichkeiten z.B. für einen Sechser im Lotto (1:13.983.816 ≈ 0,000000072) auszurechnen. Da ergibt sich nur das Problem, daß sich niemand etwas unter solch großen bzw. kleinen Zahlen vorstellen kann. Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser entspricht ungefähr der Wahrscheinlichkeit, in Deutschland (82 Mio. Einwohner) zu den drei bis sieben Menschen zu gehören, die pro Jahr von einem Blitz getötet werden (0,000000037 – 0,000000085). Da die Angst davor aber als relativ groß empfunden wird – was scheren sich die Gefühle schon um Statistik? -, wird vermutlich auch die Chance auf einen Sechser im Lotto völlig überschätzt.

Kommen wir zurück zur Fakultät. Es bleibt die Frage, welche alternativen Beispiele es für Programmierkurse gibt, die möglichst auch einen Alltagsbezug haben, wie z.B. das Ausrechnen von Zinsbeträgen. Das kann zwar auch längst nicht jeder, wenn man ihm einen Taschenrechner in die Hand drückt. Doch das Problem kennt jeder, und die Lösung ist auch recht anschaulich.

Wenn es jedoch um rekursive Funktionen geht, wird es komplizierter. Weil wir im Alltag überhaupt nicht rekursiv denken. Weshalb auch das Verständnis der Rekursion an sich oft mit Hindernissen verbunden ist. Dieser Umstand wird sehr treffend durch das Zitat eines Unbekannten beschrieben: Um Rekursion zu verstehen, muss man zunächst einmal Rekursion verstehen.“

Der Witz ist nur, daß die rekursive Formulierung eines Problems oftmals viel einfacher ist als die iterative – wenn man sie denn verstehen würde. Und deswegen ist die Rekursion auch Pflicht in jedem Programmierkurs.

Aber fragen wir doch mal das „allwissende Netz“: Wenn man jemandem das Programmieren von Funktionen beibringen will, welche anschaulichen Alternativen gibt es zur alltagsfernen Fakultätsfunktion? Die „Türme von Hanoi“ sind eine nette Spielerei, haben aber auch nichts mit Berechnungen im Alltag zu tun. Ähnliches gilt für die Fibonacci-Folge. Und die Umrechung von °Fahrenheit in °Celsius kann zwar (z.B. bei einem Aufenthalt in den USA) sehr praxisnah sein, läßt sich aber kaum rekursiv beschreiben.